Hoy hemos aprendido la didáctica de la suma y la resta, es decir, hemos comenzado el tema 4.
En éste, lo primero que hemos visto son los problemas con enunciado verbal, los cuales van de lo real a lo simbólico y de menor dificultad a mayor dificultad teniendo en cuenta los tipos de problemas y los datos del problema.
Ahora bien, los tipos de problemas de suma por orden de dificultad tiene las siguientes características:
- Añadir/ transformación. Ej: Tengo 3 caramelos y mi madre me da dos. ¿Cuántos caramelos tengo?
- Reunir/ parte-parte-todo. Ej: Hay 3 coches rojos y 2 verdes. ¿Cuántos coches hay?
- Comparación. Ej: Pedro tiene 3 caramelos y Nuria 2 más que él. ¿ Cuántos caramelos tiene?
Los tipos de problemas de restas por orden de dificultad:
- Quitar/transformación. Ej: Tengo 5 caramelos y doy 2 a mi hermano. ¿con cuántos caramelos me quedo?
- Separar/ parte-parte-todo. Ej: Hay 5 coches y 2 son de color verdes. ¿Cuántos coches hay de otro color?
- Igualdad. Ej: Tengo 3 caramelos y tu tienes 5 ¿Cuántos caramelos tienes tú más que yo?
- Comparación. Ej: En un equipo de fútbol hay 3 niñas y 5 niños. ¿Cuántos más niños que niñas hay en el equipo?
De manera que en la resta para que sea de menor a mayor dificultad en cuanto a los datos debe:
- No pasar de 5
- No pasar de 10
- Más de 10
Siendo:
- La diferencia entre los datos es 1 o 2
- La diferencia es 3, 4 y así sucesivamente
Por otra parte nos encontramos también con dos posibles algoritmos:
- El tradicional: "austriaco" o "compensación"
- El algoritmo de "bases" o de transferencia posicional.
Ej: Método austriaco: Ej: Método de bases
2354 1 13 4 14
-1536 2 3 5 4
-------- -1 5 3 6
0818 -------------
0 8 1 8
Luego de estas ideas sobre la suma y la resta, hemos pasado a lo más teórico, centrándonos así en:
La definición cardinal de la suma:
La suma se interpreta como el cardinal obtenido al unir dos conjuntos como muestra el siguiente esquema:
A --> a, b, e, f
B --> h, g
Card (A) + Card (B) = (AUB) = 4+2= 6
Por tanto, dado dos números naturales a, b se llama suma a + b al cardinal del conjunto AUB, siendo A y B dos conjuntos distintos de ordinales a y b, respectivamente.
La definición ordinal o recursiva de la suma 1:
- p + 2 = p, para todo número natural p
- P + sig (n) = sig (p+n), para p, n E N
Ej:
p = 1
n = 2
p + sig(n)= Sig (p+n)
1+3 = sig (3)
4 = 4
Puede comprobarse cómo con esta definición se encuentra la suma de dos números cualesquiera. Por ejemplo:
4+3=4+sig(2)=Sig(4+2)=sig(4+sig(1)=sig(sig(4+1))=sig(sig(4+sig(0))=Sig(sig(sig(4+0)))=sig(sig(4)))=sig(sig(5))= sig (6)=7
Es decir, que 4+3 es el número que se obtiene contando a partir de 4, los tres siguientes. Y, en general, a+b es el número que se obtiene contando a partir de a, los b siguientes.
Las propiedades de la suma:
Con cualquiera de las definiciones anteriores puede comprobarse que la suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:
- Cierre: la suma de dos números naturales es otro número natural.
- Asociativa: (n+b)+c=a+(b+c), es decir, para sumar tres o más números naturales pueden agruparse de dos en dos como se desee para calcular la suma.
- Commutativa: a+b=b+a, es decir, que el resultado de la suma no depende del orden en que se tomen los sumandos.
- Existencia de elemento nuetro:n el natural 0, a +0=0+a=a, para todo a E N.
Definición cardinal de la resta II:
Con ello, es posible definir la resta de número naturales desde el punto vista cardinal de la siguiente forma:
Dado dos números naturales a=card(A), b=card(B), con b< a, se llama resta a - b.
- Al cardinal del complementario de B respecto A, a-b=card(B(A), si B es subconjunto de a.
- Al cardinal del complementario de B`respecto de A, a-b=card(N(A), si B no es subconjunto de A.
En definitiva, dados dos números naturales a,b con b <a, se llama resta a-b al número que se obtiene descontando el número b a partir de a. Equivalentemente, a-b es el número r tal que b+r=a, es decir, el número de siguientes de b que hay que contar para llegar a a.
Sobre las propiedades de la resta puede afirmarse lo siguiente:
- No es cerrada, la resta de dos números naturales, en general, no es otro número natural. Las restas como 1-2, 5-7, y en general a-b con a<b, carecen de sentido.
- No es asociativa: (a-b)-c no es igual a -(b-c), es decir, el resultado de la resta de tres o mas números naturales depende de cómo se agrupan de dos en dos para calcular la recta.
- No es conmutativa: a - b, no es igual que b - a.
- Carece de elemento neutro, si a E N, a no es igual que 0, es a - 0, no es igual que 0 - a, siendo a - 0 y 0 - a carecer de sentido.
