¡Sumo y resto como mi maestro!

Hoy hemos aprendido la didáctica de la suma y la resta, es decir, hemos comenzado el tema 4. 

En éste, lo primero que hemos visto son los problemas con enunciado verbal, los cuales van de lo real a lo simbólico y de menor dificultad a mayor dificultad teniendo en cuenta los tipos de problemas y los datos del problema.

Ahora bien, los tipos de problemas de suma por orden de dificultad tiene las siguientes características:

1. Añadir/ transformación. Ej: Tengo 3 caramelos y mi madre me da dos. ¿Cuántos caramelos tengo?
2. Reunir/ parte-parte-todo. Ej: Hay 3 coches rojos y 2 verdes. ¿Cuántos coches hay?
3. Comparación. Ej: Pedro tiene 3 caramelos y Nuria 2 más que él. ¿ Cuántos caramelos tiene?

Los tipos de problemas de restas por orden de dificultad:

1. Quitar/transformación. Ej: Tengo 5 caramelos y doy 2 a mi hermano. ¿con cuántos caramelos me quedo?
2. Separar/ parte-parte-todo. Ej: Hay 5 coches y 2 son de color verdes. ¿Cuántos coches hay de otro color?
3. Igualdad. Ej: Tengo 3 caramelos y tu tienes 5 ¿Cuántos caramelos tienes tú más que yo?
4. Comparación. Ej: En un equipo de fútbol hay 3 niñas y 5 niños. ¿Cuántos más niños que niñas hay en el equipo? 

De manera que en la resta para que sea de menor a mayor dificultad en cuanto a los datos debe:

1. No pasar de 5
2. No pasar de 10
3. Más de 10

Siendo:

1. La diferencia entre los datos es 1 o 2
2. La diferencia es 3, 4 y así sucesivamente

Por otra parte nos encontramos también con dos posibles algoritmos:

• El tradicional: "austriaco" o "compensación"
• El algoritmo de "bases" o de transferencia posicional.

Ej: Método austriaco:                                                  Ej: Método de bases

  2354                                                                             1 13 4 14                                                      

-1536                                                                              2 3   5 4

--------                                                                           -1 5   3  6

 0818                                                                             -------------

                                                                                        0 8   1  8

Luego de estas ideas sobre la suma y la resta, hemos pasado a lo más teórico, centrándonos así en:

La definición cardinal de la suma: 

La suma se interpreta como el cardinal obtenido al unir dos conjuntos como muestra el siguiente esquema: 

A --> a, b, e, f

B --> h, g

Card (A) + Card (B) =  (AUB) = 4+2= 6

 

Por tanto, dado dos números naturales a, b se llama suma a + b al cardinal del conjunto AUB, siendo A y  B dos conjuntos distintos de ordinales a y b, respectivamente. 

La definición ordinal o recursiva de la suma 1:

• p + 2 = p, para todo número natural p
• P + sig (n) = sig (p+n), para p, n E N

Ej:

p = 1

n = 2 

p + sig(n)= Sig (p+n)

1+3 = sig (3)

4 = 4

Puede comprobarse cómo con esta definición se encuentra la suma de dos números cualesquiera. Por ejemplo:

4+3=4+sig(2)=Sig(4+2)=sig(4+sig(1)=sig(sig(4+1))=sig(sig(4+sig(0))=Sig(sig(sig(4+0)))=sig(sig(4)))=sig(sig(5))= sig (6)=7

Es decir, que 4+3 es el número que se obtiene contando a partir de 4, los tres siguientes. Y, en general, a+b es el número que se obtiene contando a partir de a, los b siguientes.

Las propiedades de la suma:

Con cualquiera de las definiciones anteriores puede comprobarse que la suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:

• Cierre: la suma de dos números naturales es otro número natural.
• Asociativa: (n+b)+c=a+(b+c), es decir, para sumar tres o más números naturales pueden agruparse de dos en dos como se desee para calcular la suma.
• Commutativa: a+b=b+a, es decir, que el resultado de la suma no depende del orden en que se tomen los sumandos.
• Existencia de elemento nuetro:n el natural 0, a +0=0+a=a, para todo a E N.

Definición cardinal de la resta II:

Con ello, es posible definir la resta de número naturales desde el punto vista cardinal de la siguiente forma:

Dado dos números naturales a=card(A), b=card(B), con b< a, se llama resta a - b.

• Al cardinal del complementario de B respecto A, a-b=card(B(A), si B es subconjunto de a.
• Al cardinal del complementario de B`respecto de A, a-b=card(N(A), si B no es subconjunto de A.

En definitiva, dados dos números naturales a,b con b <a, se llama resta a-b al número que se obtiene descontando el número b a partir de a. Equivalentemente, a-b es el número r tal que b+r=a, es decir, el número de siguientes de b que hay que contar para llegar a a.

Sobre las propiedades de la resta puede afirmarse lo siguiente:

• No es cerrada, la resta de dos números naturales, en general, no es otro número natural. Las restas como 1-2, 5-7, y en general a-b con a<b, carecen de sentido.
• No es asociativa: (a-b)-c no es igual a -(b-c), es decir, el resultado de la resta de tres o mas números naturales depende de cómo se agrupan de dos en dos para calcular la recta.
• No es conmutativa: a - b, no es igual que b - a.
• Carece de elemento neutro, si a E N, a no es igual que 0, es a - 0, no es igual que 0 - a, siendo a - 0 y 0 - a carecer de sentido.