Contenido del 10/11/2014 (Axiomas)

Hoy hemos podido ver como realizar runa buena contestación de examen con respecto a una actividad, por ejemplo si la actividad que hemos elegido consiste en aprender el número 0, a parte de estar bien explicada, se tendría que que poner tanto los objetivos de esa actividad como sus competencias. Me ha gustado poder ver este tipo de actividades, puesto que me ayudaran a realizar un buen examen y a seguir progresando.
A continuación, hemos comenzado el tema tres: Números naturales y su tratamiento didáctico.
En él hemos dado el Axioma de Peano, primero decir que en un sistema axiomático hay:

• Términos primitivos de la teoría que vamos a construir de naturaleza no especificada y cuya existencia se postula.

• Axiomas que son proposiciones relativas a los términos primitivos y que se tiene por verdaderas. (Algo que me creo que son de verdad y no tengo que demostrarlo). 

• Definiciones de términos distintos a los primitivos. 

• Teoremas que son propiedades que podemos deducir de forma lógica a partir de las definiciones y los axiomas. (A partir de lo que yo creo que es verdad demuestro otras cosas con teorías matemáticas).

Después, hemos visto un vídeo explicativo: cibermatix, la verdad que en esta ocasión no me ha servido de gran ayuda puesto que no he comprendido muchas cosas. Centrándome más en el Axioma de Peano, construcción del conjunto N, voy a decir los aspectos más relevantes que me han resultado:
Primero, este axioma permite la construcción de los naturales de forma teórica, en definitiva son un conjunto de axiomas aritméticos, para definir los números naturales. Son cinco axiomas a donde se usan los conceptos del conjunto de los naturales "uno" y aplicaciones "siguiente", por ejemplo si el 0 no contase:

• 1 es un elemento del conjunto N   ƎN: 1 ϵ N

•  Todo elemento de N verifica que su siguiente también es un elemento de N. Ǝ Ø: N à N | x ϵ N àØ (x) ϵ N

• 1 no es el siguiente de ningún elemento de N.  x ϵ N, Ø(x)≠1

• Si los siguientes son iguales, también los originales  x, y ϵ  N, Ø(x) = Ø(y) à x=y

•  Axioma de inducción: un subconjunto de N que contenga al 1 y que dado un elemento del subconjunto también contenga a su siguiente, entonces el subconjunto es igual a N. A C N que cumple 1 ϵ A y x ϵ  A à Ø (x) ϵ A entonces A = N

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.

1. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).

1. El 1 no es el sucesor de algún número natural.

1. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

1. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

d

·